Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai = Stochastic properties of hyperbolic dynamical systems

A projektet eredetileg 36 hónapra terveztük, de 12 hónap után egy külföldi post-doc pozíció miatt meg kellett szakítani. Emiatt az eredmények részlegesek. Konstruáltunk egy konkrét 3-dimenziós véges horizontú szóró biliárdot amiben a szingularitási szerkezet exponenciális komplexitása szigorúan bebizonyítható. Két dimenzióban bebizonyítottam, hogy tipikus sima görbékkel határolt szórótestek esetén a komplexitás korlátos. Randomizált itarációs algoritmusok megbízhatóságát vizsgáltuk hiperbolikus rendszerek számítógépes szimulációjában, empirikusan. Azt találtuk, hogy nagyon kicsi perturbációk alkalmazása esetén a szimuláció jobban tükrözi a rendszer ergodikus tulajdonságait, miközben a számolt invariáns mérték pontossága alig romlik. Olyan hővezetés-modellt vizsgáltam, amiben lokalizált biliárd korongok hatnak kölcsön konzervatív erők révén. A gyenge csatolás határesetben egy kölcsönható részecskerendszert sikerült leírni. Ennek a rendszernek a hidrodinamikai limeszét, vele a hővezetési együttható hőmérsékletfüggését sikerült meghatározni szigorú, heurisztikus és numerikus eszközök egy keverékével. A kapott eredmény meglepően realisztikus. Ez komoly eredmény egy nemzetközi érdeklődéssel kísért területen. Vizsgáltuk a preferenciális kapcsolódás modell szerint növekedő véletlen fák szerkezetét hosszú idő után leíró véletlen mértéket. Bebizonyítottuk, hogy a mérték Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan konstans. Erre explicit formulát is adtunk. | This project was originally planned for 36 months, but it had to be terminated after 12 months due to a post-doc position abroad. As a consequence, results are partial. We constructed a specific 3-dimensional finite horizon dispersing billiard where exponential complexity of the singularity structure can be rigorously proven. I have proven that in two dimensions the complexity is bounded for a typical smoouth scatterer curves. The usability of randomized iteration algorithms in the computer simulation of hyperbolic systems was studied empirically. We found that using very small perturbations results in the ergodic properties of the system being better reflected, while causing little loss in the accuracy of the calculated invariant measures. I studied a heat conduction model with localized billiard disks interacting via conservative forces. An interacting particle system was found in the weak coupling limit. The hydrodynamic limit of this system, including the temperature dependence of the heat conductivity was established through a mixture of rigorous, heuristic and numerical methods, giving surprisingly realistic results. This is a serious achievement in an area that is in the center of international attention. We studied the random measure desribing the long-time structure of the growing tree in preferential attachment models. The Hausdorff dimension was proven to be constant almost surely. An explicit formula was also given

On the limiting Markov process of energy exchanges in a rarely interacting ball-piston gas

We analyse the process of energy exchanges generated by the elastic collisions between a point-particle, confined to a two-dimensional cell with convex boundaries, and a `piston', i.e. a line-segment, which moves back and forth along a one-dimensional interval partially intersecting the cell. This model can be considered as the elementary building block of a spatially extended high-dimensional billiard modeling heat transport in a class of hybrid materials exhibiting the kinetics of gases and spatial structure of solids. Using heuristic arguments and numerical analysis, we argue that, in a regime of rare interactions, the billiard process converges to a Markov jump process for the energy exchanges and obtain the expression of its generator.Comment: 23 pages, 6 figure

Synchronization versus stability of the invariant distribution for a class of globally coupled maps

We study a class of globally coupled maps in the continuum limit, where the individual maps are expanding maps of the circle. The circle maps in question are such that the uncoupled system admits a unique absolutely continuous invariant measure (acim), which is furthermore mixing. Interaction arises in the form of diffusive coupling, which involves a function that is discontinuous on the circle. We show that for sufficiently small coupling strength the coupled map system admits a unique absolutely continuous invariant distribution, which depends on the coupling strength $\varepsilon$. Furthermore, the invariant density exponentially attracts all initial distributions considered in our framework. We also show that the dependence of the invariant density on the coupling strength $\varepsilon$ is Lipschitz continuous in the BV norm. When the coupling is sufficiently strong, the limit behavior of the system is more complex. We prove that a wide class of initial measures approach a point mass with support moving chaotically on the circle. This can be interpreted as synchronization in a chaotic state

Giant magnetoresistance (GMR) in electrodeposited multilayer films: the influence of superparamagnetic regions

When preparing an alternating sequence of magnetic (Co or Ni) and non-magnetic (Cu) layers by electrodeposition using the two-pulse plating technique, a dissolution of the lessnoble magnetic Co and Ni atoms can take place during the deposition of the more noble and non-magnetic Cu atoms. This process results in changes of the actual sublayer thicknesses with respect to the nominal values and can also cause some chemical intermixing at the magnetic/non-magnetic interfaces. As a consequence, superparamagnetic (SPM) regions with “loose magnetic moments” can form as has been demonstrated for electrodeposited Ni-Cu/Cu multilayers. We have also shown recently for electrodeposited Co-Cu/Cu multilayers that if some fraction of the magnetic layers exhibits SPM behaviour then the observed giant magnetoresistance (GMR) can be quantitatively decomposed into a ferromagnetic (FM) and a SPM contribution. In this paper, the results of a similar GMR decomposition study are presented for two electrodeposited Co-Cu/Cu multilayers. In the multilayer with strongly non-saturated magnetoresistance curves, the dominant GMR term was due to SPM regions, whereas in the other multilayer for which the magnetoresistance is mostly saturated in magnetic fields around 1 to 2 kOe, the FM contribution to the GMR is much larger. At the same time, magnetic measurements on the first multilayer sample have also revealed the presence of a large SPM contribution to the magnetization

Hiperbolikus dinamikai rendszerek: attraktorok és korreláció lecsengés. = Hyperbolic dynamical systems: attractors and correlation decay.

A team kivételesen eredményes munkát végzett a periódus során. Young (Annals of Mathematics, 1998) síkbeli szóró biliárdokra vonatkozó torony konstrukciójának többdimenzióra való kiterjesztésével már 1998-tól foglalkoztunk. Bálint és Tóth friss és gondolatgazdag eredménye az első áttörés. Szász és Varjú a síkbeli konstrukciót alkalmazzák a Brown mozgás dinamikai elméletének modelljeire, nevezetesen a Lorentz folyamat sztochasztikájára. Véges, sőt végtelen horizont esetén is igazoltak lokális határeloszlástételeket, és rekurrenciát. Utóbbi esetben már globális határeloszlástételük is Bleher nevezetes, 1992-es sejtésének első szigorú bizonyítása. Dolgopyattal közös eredményeik Erdős-Taylor ill. Darling-Kac bolyongásokra vonatkozó tételeinek kiterjesztései periódikus Lorentz folyamatra, ezekkel Sinai 1981-es mély sejtésére szellemes és technikás bizonyítást adnak. Solomyak (Annals of Mathematics, 1995) végtelen Bernoulli konvolúciók abszolút folytonosságára vonatkozó, áttörést jelentő cikkét általánosította Tóth és Simon, majd Tóth. Solomyak eredménye olyan mértékek egy paraméteres családjára bizonyított abszolút folytonosságot, melyek stacionáriusak az egyenesen értelmezett IFS-ek egy paraméteres családjára. Ezen IFS-ek két lineáris -1/2-nél nagyobb - rátájú kontrakcióból állnak és azonos valószínűséggel alkalmazzuk mind két függvényt. Simon és Tóth ezt a tételt kiterjesztette tetszőlegesen sok függvényre és Tóth részeredményeket ért el a különböző kontrakciók esetén. | The team had an exceptionally successfull research period. We started the work on the multidimensional extension of Young's tower construction for planar dispersing billiards, published in 1998 in Annals of Mathematics. The fresh result of Bálint and Tóth, rich in ideas, is the first breakthrough here. Szász and Varjú applied the planar construction to dynamical models of Brownian motion: to stochastic properties of the planar Lorentz process. They obtained local limit theorems, and recurrence as well, in case of finite and even infinite horizon. In the latter case their - weaker - global limit theorem in itself provides the first rigorous verification of Bleher's 1992 conjecture. Their results, joint with Dolgopyat, extend classical results for random walks of Erdős-Taylor and of Darling-Kac to the periodic Lorentz process, which made it possible for them to give a technical and witty proof for Sinai's 1981 deep conjecture. Simon and Tóth (2006) and Tóth (2008) generalized a breakthrough result of Solomyak (Annals of Mathematics 1995). Solomyak considered a one parameter family of Iterated Function System (IFS) that consists of two linear contractions with the same (> 1/2) ratio of contraction which are applied with the same probability. Simon and Tóth generalized this result for arbitrary (but finite) number of contractions. Tóth obtained partial results about the generalization of the Solomyak's theorem for different probabilities

Alagutazó mágneses ellenállás (TMR) ferromágneses/szigetelő nanoszerkezetekben = Tunnelling magnetoresistance (TMR) in ferromagnetic/insulator nanostructures

Az OTKA pályázat során folytatott kutatások közül az elektrolitikusan előálított mágneses/nem-mágneses (főleg Co-Cu/Cu) multirétegek óriás mágneses ellenállásának (GMR) megértésével kapcsolatos tevékenységünk igen eredményes volt (10 nemzetközi folyóiratpublikáció, 2 konferenciaközlemény, felkérés 1 könyvrészlet megírására és 13 meghívott előadás tartására). Kutatásaink során tisztáztuk a szakirodalomban sokat vizsgált, de korábban nem teljesen megértett elektrokémiai folyamatok (az ún. Co Cu cserereakció és a Co-visszaoldódás) és a leválasztási módok szerepét a multirétegek képződésében és hatásukat a GMR-ra. A kétimpulzusos multiréteg előállításnál eddig kizárólagosan használt áram/áram vagy potenciál/potenciál kombinációk mellett bevezettük az optimálisabb áram/potenciál impulzuskombinációt. Egy másik OTKA pályázatunk eredményeit felhasználva optimalizáltuk a kulcsfontosságú Cu-leválasztási potenciál értékét, így első ízben lehetett tanulmányozni a GMR függését a valódi rétegvastagságoktól elektrolitikus multirétegekben. Ezen eredmények alapján arra következtettünk, hogy a Cu nukleációja Co felületen más jellegű, mint a Co nukleációja Cu felületen. A mágneses ellenállás térfüggését analizálva megállapítottuk, hogy az elektrolitikus multirétegekben megfigyelt nagy telítési teret a mágneses rétegek egyes tartományainak szuperparamágneses viselkedése okozza, amelyek GMR járulékának kvantitatív meghatározására módszert dolgoztunk ki. | Our OTKA project activity was very successful in the field of electrodeposited (ED) magnetic/non-magnetic Co-Cu/Cu multilayers, especially concerning the study of their giant magnetoresistance (GMR) behaviour, as indicated by 10 papers in international journals and 2 in conference proceedings, and by the invitation to write a book chapter as well as to give 13 invited talks at international conferences. We have clarified the role of the previously intensively studied but not completely understood electrochemical processes (Co Cu exchange reaction and Co-dissolution) and of the deposition modes in multilayer formation and their influence on GMR. In addition to the current/current or potential/potential deposition modes formerly exclusively applied, the more advantageous current/potential pulse combination was introduced. Relying on our reuslts from another OTKA grant, we have optimized the Cu deposition potential, enabling for the first time a study of the dependence of GMR on true layer thicknesses in ED multilayers. It could be concluded from this study that there is an asymmetry in the nucleation behaviour of Co and Cu on top of each other. Analyzing the field dependence of the GMR, we have established that the large GMR saturation field usually observed in ED multilayers arises from some regions of the magnetic layers which exhibit superparamagnetic behaviour and we have elaborated a method to extract the latter contribution from the measured data